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| Chapitre no 7 | |
| Leçon: Calcul avec les nombres complexes | |
|---|---|
| Chap. préc.: | Module et argument |
| Chap. suiv.: | Équations |
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «Calcul avec les nombres complexes: Écriture exponentielle et trigonométrique
Calcul avec les nombres complexes/Écriture exponentielle et trigonométrique», n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Il existe une seconde forme d'écriture des complexes.
L'écriture exponentielle d’un nombre complexe permet d'extraire du premier coup d’œil son module et son argument, et permet aussi de mémoriser plus aisément les propriétés vues dans le chapitre précédent sur les modules et les arguments.
Notation exponentielle[modifier | modifier le wikicode]
Formule d'Euler[modifier | modifier le wikicode]
Définition
La formule d'Euler relie l'exponentielle complexe avec le cosinus et le sinus dans le plan complexe:
.
Voir l'annexe «Démonstration de la formule d'Euler».
On remarque tout d’abord la périodicité: Les valeurs particulières, qui sont les intersections du cercle trigonométrique avec les axes des réels et des imaginaires, sont:
|
Écriture exponentielle[modifier | modifier le wikicode]
Pour tout nombre complexe 
non nul, de module 
et d'argument principal 
, on a: 
.
Écriture exponentielle d’un nombre complexe
Soient un nombre complexe non nul et son module.
La forme exponentielle de est: 
pour tous les arguments de .
Reconnaître un nombre complexe sous sa forme exponentielle[modifier | modifier le wikicode]
Tirer le module et un argument d’un nombre complexe sous sa forme exponentielle
Réciproquement, tout nombre complexe z non nul, qui s'écrit 
avec 
, a pour module r et a un argument égal à :
et 
.
Si 
, alors 
, et on a:
et 
.Notez bien que 
.
Conjugué[modifier | modifier le wikicode]
Conjugué d’un nombre complexe sous sa forme exponentielle Soit z un nombre complexe non nul, sous sa forme exponentielle: Le conjugué de z s'écrit:
Démonstration
Au final: |
Exemple[modifier | modifier le wikicode]
Écriture exponentielle et trigonométrique: Écrire un complexe sous ses différentes formes
1) Soit 
, écrire ce complexe sous forme exponentielle et trigonométrique:
- Calcul du module:
- Calcul de l'argument: d'où
Donc 
2) Soit 
et 
, écrire ce complexe sous forme cartésienne.
- Calcul de la partie réelle:
- Calcul de la partie imaginaire:
D'où 
Propriétés des arguments et des modules[modifier | modifier le wikicode]
Soit z et z' deux nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle: 
et 
avec et 
.
Nous allons maintenant revoir toutes les propriétés des arguments et des modules du chapitre précédent, qui seront maintenant plus faciles à comprendre et à se souvenir grâce à la notation exponentielle.
Produit[modifier | modifier le wikicode]
Produit de deux nombres complexes
Or
|
Carré d’un nombre complexe Le carré d’un nombre complexe a un module au carré et un argument qui double: |
Opposé d’un nombre complexe
|
Inverse et division[modifier | modifier le wikicode]
Inverse d’un nombre complexe
Or
|
Division de deux nombres complexes
Or
|
Puissance[modifier | modifier le wikicode]
Soit
Puissance d’un nombre complexe D'où Or Au final, |
Exemples[modifier | modifier le wikicode]
Propriétés des arguments et des modules: Exemple sur les propriétés
Soit 
, calculer:
Calculer le cosinus et le sinus d’un angle[modifier | modifier le wikicode]
On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d’un angle .
Pour cela, il suffit juste de connaître deux angles a et b dont leur somme est égale à , et de connaître leurs cosinus et sinus.
Voici ensuite la démarche à suivre:
- On a et on connaît , , et .
- Pour simplifier, on prend un module de 1 (les points sont sur le cercle trigonométrique).
- Formule d'Euler: .
- .
- Trouver les valeurs algébriques (cartésiennes) des deux nombres complexes qui correspondent à un module de 1 et à un argument respectivement de a et de b: et . La réussite de l'exercice dépend de cette étape.
- Multiplier ces deux nombres complexes sous leur forme algébrique: .
- .
- On identifie, en séparant les parties réelles et imaginaires: et .
Déterminer la valeur exacte du cosinus et du sinus de 
On se propose de déterminer 
et 
.
On remarque que 
, et que leurs cosinus et sinus respectifs sont connus.
On pose 
(on prend les nombres complexes situés sur le cercle trigonométrique).
- Soit et .
On a donc. - On sait que et .
- On peut donc calculer la forme algébrique du produit.
On trouve alors:. - Par identification, .
Ce qui nous amène à traiter le cas général: les formules d'addition des cosinus et des sinus.
Formules d'addition des cosinus et sinus[modifier | modifier le wikicode]
Formule d'Euler pour retrouver les formules d'addition de cos et sin
La formule d'Euler, 
, nous permet de retrouver facilement les formules d'addition des cosinus et des sinus.
Prenons deux angles et multiplions les nombres complexes qui leurs correspondent sur le cercle trigonométrique:
.
En continuant le calcul, on a: 
.
C'est en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires que l’on obtient les formules déjà connues:
- , et
- .
Ce résultat est à mettre en relation avec le produit de deux nombres complexes:
.On peut ainsi se souvenir des formules d'addition en remplaçant les x par des cos, les y par des sin, et bien sûr avec 
!
Cette méthode permet aussi de retrouver par exemple 
ou encore 
, en développant des formules plus compliquées.
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